π＞3.05を証明せよ ―― 東大の伝説の入試問題をプログラムで解く：組み込みエンジニアの現場力養成ドリル（27）（3/5 ページ）

[山浦恒央 東海大学 大学院 組込み技術研究科 非常勤講師（工学博士），TechFactory]

円周率とは？

　授業で学生に、「πってなんだ？」と聞くと、「円周率です」と答えるので、さらに、「じゃあ、円周率ってなんだ？」と聞くと、「3.14です」と答える場合が少なくありません。そんな場合、さらに踏み込んで、「じゃあ、なぜ、3.14なんだ？」と迫ると、「えっ、アルキメデスの昔からその値です。関数電卓でもその値を表示します」となり、どうも、円周率の意味が分かっていないようです。「円周率を具体的にどうやって計算するんだ？　この教室の中にあるものを使って計算してみて」と言うと、頭を抱えて悩む学生が多数……。「除夜の鐘は108」みたいなイメージなのかもしれません。

　さらに、「じゃあ、半径がrの円の面積はどうやって求めるんだ？」と聞くと、「r＊r＊πです」と答えるので、「なぜ、それで円の面積が計算できるんだ？」と畳みかけると、「エッ……」と絶句してしまいます（絶句したいのは私です）。そこで、私は、図1のような円を描いて、説明します。

図1：円周率の説明

　「いいですか、皆さん、円周率とは、円周Pの長さが、直径Rの何倍かを表したものです。ドラム缶のような円形のものがあれば、糸を巻いて円周を計り、直径も定規で計って、割り算すれば、円周率を求められます。ドラム缶ぐらい大きいと、円周率は3.1ぐらいにはなりますよ。では、円の面積の求め方です。図2を見てください」

図2：円の面積を求める方法

　円の面積の求め方は、一種の積分の考え方ですね。例えば、図2の左のように、円をピザのように6等分して、それを図2の右のように互い違いに組み合わせます。すると、長方形（正確には平行四辺形）になります。6等分を急激に細かくすると、最終的には、円の面積は、「高さ×横」で、「半径×円の半周」となります。すなわち、（直径の半分）×（直径×円周率×1/2）で、「半径×半径×円周率」になり、「いつもの見慣れた円の面積の公式」になります。

伝説の入試問題

　以上が、今回のテーマのイントロダクションです。本編の話より枕（イントロ）が長い柳家小三治の落語みたいですね（私がお金を払って聞きに行った「落語家三銃士」が、立川談志、古今亭志ん朝、柳家小三治で、このうち、存命なのは小三治だけです……）。では、ここで、問題です。

問題2（制限時間30分）

　以下の伝説的な東大入試問題を①幾何学的に解いてください。そして、②別の解法でソフトウェア的に（＝プログラムをコーディングして）解いてください。それぞれ15分、合計30分で解答してください。

　円周率が3.05より大きいことを証明せよ。