組み込みエンジニアの現場力養成ドリル（27）
π＞3.05を証明せよ ―― 東大の伝説の入試問題をプログラムで解く（4/5 ページ）
問題2の解答＆解説：その1
この問題には、いろいろな解法があります。ウェブサイトを検索すると、最も多いのは、「円周率を3とすると六角形なので、八角形か十二角形にし、その外周を計算して、それが3.05より長いことを示す」が基本方針のようです。ウェブサイトの動画では予備校講師が登場し、円に内接する正八角形（あるいは正十二角形）に三角関数の「余弦定理」を適用して、正八角形（あるいは正十二角形）の外周を概算で計算し、外周の総和＞3.05であるとしています。
筆者は、極度の三角関数アレルギーで、sinθを見ただけで即死するため、ピタゴラスの定理だけで解きます。今では、中学3年生で「三平方の定理」を学習しますので、この問題は、中学生でも解けます。整数でピタゴラスの定理が成立する3＊3＋4＊4＝5＊5を使います。図3をご覧ください。
図3：ピタゴラスの定理による解法
半径5の円を4分割して、その1つを示したのが図3です。三角形BとEは、3辺が3、4、5の直角三角形になります。で、直角三角形Aの辺n1、直角二等辺三角形Cの辺n2、直角三角形Fの辺n3の合計が3.05/4より長いことを算出できればいいのです。辺n1と辺n3は同じで、3＊3＋1＊1の平方根となり、√10となります。辺n2は、1＊1＋1＊1＝2の平方根で、√2となり、n1＋n2＋n3＝√10＋√2＋√10ですね。
ここから平方根の計算ですが、入試問題なので電卓は使えず、キチンと手で計算しなければなりません。
3.16＊3.16＝9.9856＜√10＜3.17＊3.17＝10.0489
なので、√10を少なめの3.16とします。また、√2は以下となります。
1.41＊1.41＝1.9881＜√2＜1.42＊1.42＝2.0164
√2の値として、少なめの1.41を採用します。
以上から、n1＋n2＋n3＞3.16＋1.41＋3.16＝7.73
これを4倍して、直径（5＋5＝10）で割ります。
7.73＊4＝30.92
30.92/10＝3.092
以上より、円周率は3.092より大きく、円周率＞3.05を証明できました。QED
問題2の解答＆解説：その2
同じ問題をプログラミングで解きます。ここからが、今回の本当のテーマです。
Ｃ言語の数学関数を使い、図4のようにプログラムすると、コーディングの時間も含め、3分で「円周率＝3.141593」を求められますが、入試問題で数学関数を使うと0点となります。
/* 円周率を表示 */
#include
#include
int main(void){
printf("パイの計算
");
float pie;
pie = M_PI;
printf("pie = %.6f", pie);
}
図4：円周率表示プログラムその1
図5：円周率の表示
いろいろな解法がありますが、ここでは、「面積」から円周率を求めます。図3から、「円周率＝円の面積/（半径＊半径）」となります。鉄板で1ｍ四方の正方形を作って重さを計り、その鉄板から4分の1の円を切って重さを計って、その比率からも円周率は求められます。
プログラミングによる円周率の計算では、図6のように、点の数で「面積」を算出します（図6は、半径10の円）。
図6：半径10の円
図7：半径10の場合の円周率
図6の黒い点は円の内側、赤い点は外側、緑の点は、4倍して円の面積を求める時に重複する点なので除外する必要があります。黒い点の数を4倍して、最後に、（0.0）の分を1つ加算すると、円内の点の数を算出できます。これを半径（点の数なので、10ではなく11）の2乗で割ると、円周率を計算できます。注意すべきは、点は0から10まであるため、配列として（0,10）、すなわち、for文で11回、ループさせることになります。
半径が「10」で計算すると、円周率は2.61983と、かなり小さい値になります。そこで、半径を100にして計算します（コーディングは最後に添付した図14を参照）。結果は、3.07980となり、円周率＞3.05となります（計算結果は図8参照）。QED
半径を1000にすると、図9のように、3.13528となり、3.14に近づきます。
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組み込みエンジニアの現場力養成ドリル
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