組み込みエンジニアの現場力養成演習ドリル（21）
集合論のパラドックス：命題が正しいのに対偶が正しくない!? ～私語をした学生への罰レポートより
今回は、私語をした学生に筆者が「罰レポート」として課した“集合論の難解な問題”を取り上げます。
学生は、教員側が1歩退くと、3歩前進してきます。ですので、教員側は「締めるべきところは、きちんと締める」方針で臨まなければなりません。
「きちんと締めるべきところ」の1つが、テストでのカンニング防止です。2カ月前の本コラムで、筆者が担当していた「オペレーティング・システム基礎1」の授業での後期試験で、カンニングを防止する「ソリューション」を取り上げました。
もう1つの「きちんと締めるべきところ」は、授業中の私語です。今回は、私語をした学生に筆者が「罰レポート」として課した“集合論の難解な問題”を取り上げます。
授業中の私語は、絶対厳禁
私語は、本人が想像する以上に破壊力があります。授業中、本人同士は一番後ろの席に座り、隣にしか聞こえない小さな声で会話しているつもりですが、さざ波が伝わるように、黒板の前にいる筆者にもはっきり聞こえます。私語は、教員だけでなく、学生にも非常に迷惑です。
新学期の第1回目の授業の開始直後に、必ず、筆者は学生に次のように言います。
私の授業は私語絶対厳禁です。この中には、ビル・ゲイツやスティーブ・ジョブズ（当時は存命でした）やマーク・ザッカーバーグと対等の立場で「エンジニアリング的な喧嘩」をするつもりの志の高い人がいます。私語をして、そんな人の邪魔をしてはいけません。私語をした場合、話した方と聞いていた方の両者に教室から退場してもらいます。私の授業が退屈なら、静かに寝ていてください。授業が面白くないのは、私の「芸が拙い」からであり、そこは真摯に受け止めます。でも、真面目に授業を受けている人の邪魔をしてはなりません。授業の邪魔をすることは、威力業務妨害です。出席点が欲しいだけで授業に出ているのなら、出席点は全部あげます。レポートも受け取りますし、試験もちゃんと採点します。その代わり、授業に出ないでください。退場勧告を受けても退場しない場合、授業を中止し、私が退場します。
2回目の授業でも、開始時に同じことを言います。
こうした2度の警告で私語がなくなるかというと、そうではありません。これまでの頻出パターンでは、3回目以降の授業で筆者の警告をコピー機の「トナーが少なくなっています」程度の軽いウォーニング・メッセージと思い、私語をする学生たちが現れます。そして、筆者が、「後ろから2番目の窓側に座って私語をしている2人、退場してください」とピンポイントで学生を特定し、退場を宣告します。でも、少しぐらいは許してもらえると思うのか、退場しません。3回、警告を繰り返しても退場しないと、筆者は、「では、最初に言った通り、授業を中止します」と言いながら、PCの電源を落としてスライド投影を止め、次のように言います。
コンピュータ系の職業を志望する学生諸君に言っておきます。入力バッファが1024バイトしかない場合、そこへ「1バイトぐらいは入るだろう」と1025バイトのデータを入れてはなりません。入力バッファの次の１バイトを破壊します。「ちょっとぐらいはイイだろう」はソフトウェアの設計では通用しません。全て、仕様に従って動作します。それと同じで、「私語は絶対厳禁。私語をした場合は退場」と言っているのに、退場しない場合は、「仕様通り」に私が退場します。
筆者は、そう言ってから教室を出ます。
次の授業では、筆者が本気であることが分かり、静かになります。ですが、8回目、9回目になると少し緊張が緩んで私語を始める学生が現れます。筆者が、「一番後ろの真ん中の2人、退場してください」と言うと、学習能力があるため、今度は素直に退場します。2人の学生には、ただ退場させるだけではなく、追加で「罰レポート」を課し、次の授業で提出させます。以下が「罰レポート」として課す問題です。みなさんも一緒に考えてください。意外に難問です。
問題（制限時間60分）
集合論では、命題、「Aならば、Bである」が成立する場合、その対偶である「Bでないならば、Aでない」も必ず成立します。例えば、「猫であるならば、動物である」の対偶は、「動物でないならば、猫でない」は成立します。
それでは、「君たち2人は注意されないならば、君たち2人は私語を止めない」を考えます。これは成り立ちます。実際に、2人ともそうでしたからね。
では、この対偶を考えましょう。対偶は、「君たち2人が私語を止めるならば、君たち2人は注意される」になります。これは成り立ちませんね。
命題が正しいのに対偶が正しくないという「矛盾」の原因を次回の授業までに考えてきてください。
解答
「君たち2人が注意される」と「君たち2人は私語を止める」は独立した別事象であり、原因と結果になっています。そのため、対偶が成立しません。「原因」と「結果」の関係は集合的には表せません。
今まで学生が提出したレポートで最も多かった答えは、「命題の『君たち2人は注意されないならば、君たち2人は私語を止めない』には、両方に否定が入っていて、対偶で、さらに否定するため」でした。二重否定でも、命題が正しければ、対偶も成り立ちます。ポイントはそこではありません。
少し詳しく見ていきましょう。「猫ならば、動物である」の命題では、「猫」が「動物」の中に含まれています。ベン図で描くと図1のようになります。「動物」と「植物」が少しだけ重なっているのは、ミドリムシのように、葉緑体を持って光合成をする動物がいるためです。
図1：「動物」と「猫」の包含関係
一方、「君たち2人は注意されないならば、君たち2人は私語を止めない」では、「君たち2人が注意される（されない）」と「君たち2人は私語を止める（止めない）」は包含関係にはありません。あえて、ベン図に描くと、図2のようになります。図2の「動物」と「植物」の関係に似ています。両方が重なった「ミドリムシ」の部分は、「注意をされて、私語を止めた人たち」です。
図2：「私語をする」と「注意をされる」の包含関係
「君たち2人は注意されないならば、君たち2人は私語を止めない」では、「君たち2人が注意される」ならば、結果として数秒後に、「君たち2人は私語を止める」という「原因と結果」になっています。集合のベン図では、原因と結果や、時系列的なことを表せません。あえて「対偶」を表すと、「君たち2人が私語を止めたのならば、その理由は、君たち2人が注意されたからだ」となります。対偶でも、「原因」と「結果」の関係にあります。
ことわざの「風が吹けば、おけ屋がもうかる」も同様で、原因と結果を表しています。この対偶、「おけ屋がもうからないならば、風が吹かない」は、正しくありませんが、「おけ屋がもうからない理由は、風が吹かないからだ」のように、「原因と結果」として考えるとつじつまがあいます。
コンピュータ系のエンジニアにとって、圧倒的に重要な数学が、グラフ理論、確率、集合を扱う「離散数学」です。中でも集合論は、「プログラミングの命」ともいうべき「場合分け」で必須の概念ですね。この集合論に、今回のような意外な落とし穴があることを知っていただければと思います。
集合論でよく出てくる「ならば」がくせ者でした。
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